De stelling van Pythagoras
In een rechthoekige driehoek (een driehoek met een hoek van 90 graden) geldt:
a² + b² = c²
Hierbij zijn a en b de twee rechthoekszijden, de zijden die de rechte hoek vormen. c is de schuine zijde (hypotenusa), de langste zijde, tegenover de rechte hoek. De stelling is vernoemd naar de Griekse wiskundige Pythagoras, al kenden onder meer de Babyloniërs het verband al eerder.
De ontbrekende zijde berekenen
- Schuine zijde: c = √(a² + b²)
- Rechthoekszijde: a = √(c² − b²) of b = √(c² − a²)
Let op: de schuine zijde is altijd de langste. Vul je een schuine zijde in die korter is dan een rechthoekszijde, dan geeft de calculator een melding.
Rekenvoorbeelden
- a = 3 en b = 4: c = √(9 + 16) = √25 = 5. Dit is de bekendste "Pythagorese drietal".
- a = 5 en b = 12: c = √(25 + 144) = √169 = 13.
- Een ladder van 3 meter staat tegen een muur en reikt tot 2,4 meter hoogte. Hoe ver staat de voet van de muur? √(3² − 2,4²) = √(9 − 5,76) = √3,24 = 1,8 meter.
- Een tv van 55 inch (de diagonaal) met beeldverhouding 16:9 is ongeveer 47,9 inch (122 cm) breed en 27 inch (68 cm) hoog.
Andere uitkomsten
Naast de ontbrekende zijde toont de calculator:
- Oppervlakte: a × b / 2, want een rechthoekige driehoek is de helft van een rechthoek.
- Omtrek: a + b + c.
- Hoeken: de twee scherpe hoeken α en β, berekend met de tangens. Samen zijn ze altijd 90 graden.
Pythagoras in de praktijk
- Haakse hoek uitzetten: bouwers en hoveniers gebruiken de 3-4-5-methode. Meet langs de ene zijde 3 meter en langs de andere 4 meter; is de afstand tussen die punten precies 5 meter, dan is de hoek haaks. Grotere veelvouden zoals 6-8-10 werken nauwkeuriger.
- Diagonalen: de diagonaal van een kamer, een beeldscherm of een tuin bereken je met Pythagoras. Controleer zo ook of een fundering of terras echt rechthoekig is: beide diagonalen moeten even lang zijn.
- Dakhelling en trappen: de lengte van een dakspant of trapboom volgt uit de hoogte en de horizontale afstand.
- Afstand op een kaart: de rechte afstand tussen twee punten op een plattegrond met een rooster is √(Δx² + Δy²).
Pythagorese drietallen
Sommige combinaties van hele getallen voldoen precies aan de stelling, zoals 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 en 7-24-25. Ook alle veelvouden werken: 6-8-10, 9-12-15. Die drietallen zijn handig bij opgaven en bij het uitzetten van haakse hoeken zonder rekenmachine.
Een kort bewijs
Een klassiek bewijs gebruikt een groot vierkant met zijde a + b. Leg daarin vier kopieën van de driehoek, zo dat de schuine zijden in het midden een scheef vierkant vormen. De oppervlakte van het grote vierkant is (a + b)², en dat is gelijk aan de vier driehoeken (4 × ab / 2 = 2ab) plus het binnenste vierkant c². Uitwerken geeft a² + 2ab + b² = 2ab + c², dus a² + b² = c².
In drie dimensies
De stelling werkt ook in 3D. De ruimtediagonaal van een doos met lengte l, breedte b en hoogte h is √(l² + b² + h²). Een doos van 3 × 4 × 12 heeft een diagonaal van √(9 + 16 + 144) = √169 = 13. Zo weet je of een lang voorwerp er schuin in past.
Veelgestelde vragen
Hoe bereken je de schuine zijde?
Kwadrateer de twee rechthoekszijden, tel ze op en neem de wortel: c = √(a² + b²).
Hoe bereken je een rechthoekszijde?
Trek het kwadraat van de bekende rechthoekszijde af van het kwadraat van de schuine zijde en neem de wortel: a = √(c² − b²).
Werkt Pythagoras voor elke driehoek?
Nee, alleen voor rechthoekige driehoeken. Voor andere driehoeken gebruik je de cosinusregel.
Wat is de schuine zijde?
De langste zijde van een rechthoekige driehoek, tegenover de rechte hoek. Ook wel hypotenusa genoemd.
Hoe controleer ik of een hoek haaks is?
Met de 3-4-5-methode: 3 en 4 meter langs de zijden, dan moet de diagonaal precies 5 meter zijn.
Hoe bereken ik de diagonaal van een rechthoek?
Gebruik lengte en breedte als a en b: diagonaal = √(lengte² + breedte²). Een kamer van 4 × 3 meter heeft een diagonaal van 5 meter.
Laatst gecontroleerd: 2026-10-06. De uitkomst is een indicatie; aan de berekening kunnen geen rechten worden ontleend.