Pytagoras’ setning
I en rettvinklet trekant er kvadratet av hypotenusen lik summen av kvadratene av de to katetene:
a² + b² = c²
Katetene a og b er de to sidene som danner den rette vinkelen, og hypotenusen c er den lengste siden, som ligger rett overfor den rette vinkelen. Setningen er oppkalt etter den greske matematikeren Pytagoras, men var kjent lenge før hans tid. Den gjelder bare for rettvinklede trekanter.
Finn hypotenusen: c = √(a² + b²) Finn en katet: a = √(c² − b²)
Utregnede eksempler
| a | b | c | Situasjon |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | den klassiske 3-4-5-trekanten |
| 2,4 m | 1,8 m | 3 m | stige eller skrå bjelke |
| 5 | 12 | 13 | ukjent katet |
| 121,8 cm | 68,5 cm | 139,74 cm | skjermdiagonal (55 tommer) |
Stigen steg for steg. En stige står med foten 1,8 m fra veggen og når 2,4 m opp på veggen. Lengden på stigen er c = √(2,4² + 1,8²) = √(5,76 + 3,24) = √9 = 3 m.
Ukjent katet. Hypotenusen er 13 og den ene kateten 5. Den andre kateten er √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12.
3-4-5-regelen i praksis
Håndverkere bruker Pytagoras til å kontrollere om et hjørne er helt rettvinklet. Mål 3 meter langs den ene siden og 4 meter langs den andre, og sett et merke begge steder. Er avstanden mellom merkene nøyaktig 5 meter, er hjørnet 90 grader. Det samme gjelder for 60, 80 og 100 cm eller for 6, 8 og 10 meter. Metoden brukes når man setter ut en grunnmur, en terrasse eller en bod.
Diagonaler
Pytagoras er praktisk når du skal finne en diagonal:
- Skjermer og TV-er: Størrelsen oppgis som diagonalen i tommer (1 tomme = 2,54 cm). En skjerm på 121,8 × 68,5 cm har en diagonal på 139,74 cm, som tilsvarer 55 tommer.
- Rom og møbler: Får du et bord gjennom døra på skrå? Regn ut diagonalen i døråpningen ut fra bredde og høyde.
- Takkonstruksjoner: Lengden på en takstol eller sperre kan regnes ut fra den vannrette avstanden og høyden til mønet.
Hva kalkulatoren også viser
Når alle tre sidene er kjent, viser kalkulatoren også trekantens areal (a × b ÷ 2), omkrets (a + b + c) og de to spisse vinklene i grader. Vinklene finnes med trigonometri: tan(A) = a ÷ b. Trenger du arealet av en vilkårlig trekant med grunnlinje og høyde, kan du også bruke kvadratmeter-kalkulatoren.
Vanlige feil
- Feil side som hypotenus: Hypotenusen er alltid den lengste siden og ligger overfor den rette vinkelen.
- Glemt kvadratrot: a² + b² gir c², ikke c. Husk å ta kvadratroten til slutt.
- Blandede enheter: Bruk samme enhet for alle sidene, for eksempel bare centimeter.
- Ikke rettvinklet: Setningen gjelder bare når én av vinklene er nøyaktig 90 grader.
Pytagoras i tre dimensjoner
Setningen kan brukes to ganger for å finne den lengste diagonalen i en boks, for eksempel for å se om en lang gjenstand får plass på skrå i bagasjerommet. Først finner du diagonalen i bunnen med lengde og bredde, og deretter bruker du den diagonalen og høyden som kateter. For en boks på 4 × 3 × 12 er bunndiagonalen 5, og romdiagonalen er √(5² + 12²) = 13.
Pytagoreiske tripler
Hele tall som passer i setningen, kalles pytagoreiske tripler. De mest kjente er 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 og 7-24-25. Ganger du en trippel med samme tall, får du en ny: 6-8-10 og 9-12-15 er også rettvinklede trekanter.
Ofte stilte spørsmål
Hva sier Pytagoras’ setning?
I en rettvinklet trekant er a² + b² = c², der c er hypotenusen og a og b er katetene.
Hvordan regner jeg ut hypotenusen?
Kvadrer begge katetene, legg sammen og ta kvadratroten: c = √(a² + b²). Med a = 3 og b = 4 blir c = 5.
Hvordan regner jeg ut en katet?
Trekk kvadratet av den kjente kateten fra kvadratet av hypotenusen og ta kvadratroten: a = √(c² − b²). Med c = 13 og b = 5 blir a = 12.
Gjelder Pytagoras for alle trekanter?
Nei, bare for rettvinklede trekanter. For andre trekanter bruker man for eksempel cosinussetningen.
Hvordan sjekker jeg at et hjørne er rettvinklet?
Bruk 3-4-5-regelen: mål 3 m langs den ene siden og 4 m langs den andre. Er avstanden mellom punktene 5 m, er vinkelen 90 grader.
Sist gjennomgått: 06.10.2026. Resultatene er anslag og kun veiledende.