Co říká Pythagorova věta
V pravoúhlém trojúhelníku je obsah čtverce nad přeponou roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami:
a² + b² = c²
Odvěsny a a b jsou strany, které svírají pravý úhel. Přepona c leží proti pravému úhlu a je vždy nejdelší stranou. Z věty plynou dva vzorce:
přepona: c = √(a² + b²)
odvěsna: a = √(c² − b²)
Kalkulačka navíc spočítá obsah (a × b ÷ 2), obvod (a + b + c) a úhly α a β, které spolu dávají 90°. Úhel α leží proti straně a, úhel β proti straně b.
Řešené příklady
| Zadáno | Výsledek | Obsah | Obvod | Úhly |
|---|---|---|---|---|
| a = 3, b = 4 | c = 5 | 6 | 12 | α = 36,87°, β = 53,13° |
| a = 5, b = 12 | c = 13 | 30 | 30 | α = 22,62°, β = 67,38° |
| a = 0,8, c = 2,5 | b = 2,368544 | 0,947418 | 5,668544 | α = 18,66°, β = 71,34° |
Trojice 3, 4, 5 a 5, 12, 13 jsou takzvané pythagorejské trojice, celá čísla, která větu splňují přesně. Stavitelé je používají odedávna: když na jedné straně odměříte 3 m, na druhé 4 m a úhlopříčka mezi body měří přesně 5 m, je úhel pravý.
Třetí příklad je z praxe: žebřík dlouhý 2,5 m opřený o zeď, jehož pata stojí 0,8 m od zdi. Do jaké výšky dosáhne? b = √(2,5² − 0,8²) = √(6,25 − 0,64) = √5,61 = 2,37 m. Úhel mezi žebříkem a zemí je 71,34°, což odpovídá doporučení opírat žebřík zhruba v úhlu 70 až 75°.
Kde se věta hodí v praxi
- Stavba a řemesla: kontrola pravého úhlu u základů, teras a rámů metodou 3-4-5, výpočet délky krokví nebo schodnice.
- Úhlopříčka obrazovky: televize s úhlopříčkou 55 palců a poměrem stran 16 : 9 má šířku asi 121,8 cm a výšku 68,5 cm, což lze ověřit právě Pythagorovou větou.
- Úhlopříčka místnosti nebo pozemku: pokoj 4 × 3,5 m má úhlopříčku √(16 + 12,25) = 5,32 m. Hodí se pro kontrolu, zda jsou stěny pravoúhlé, nebo zda se dlouhý předmět vejde.
- Navigace a mapy: přímá vzdálenost mezi dvěma body, když znáte posun na sever a na východ.
- Škola: Pythagorova věta patří k základnímu učivu matematiky na základní škole a objevuje se i v přijímacích zkouškách na střední školy.
Na co si dát pozor
Věta platí jen pro pravoúhlé trojúhelníky. Pro obecný trojúhelník je třeba použít kosinovou větu. Přepona musí být vždy delší než každá z odvěsen; pokud zadáte přeponu kratší než odvěsnu, kalkulačka vás upozorní. Všechny strany zadávejte ve stejné jednotce: výsledek bude ve stejné jednotce, obsah v jejích druhých mocninách.
Kalkulačka zobrazuje délky na šest desetinných míst a úhly na dvě. Pro praktické použití stačí obvykle zaokrouhlit na milimetry nebo centimetry.
Plochu podlahy nebo stěny spočítáte v kalkulačce metrů čtverečních, objem v kalkulačce kubíků.
Příklad: délka krokve
Dům je široký 8 m a má sedlovou střechu, jejíž hřeben leží 3 m nad úrovní pozednice. Krokev tvoří přeponu pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami 4 m (polovina šířky) a 3 m (výška). Její délka je √(4² + 3²) = √25 = 5 m. K tomu je třeba připočítat přesah střechy přes obvodovou zeď, například 0,5 m, takže krokev bude měřit zhruba 5,5 m. Sklon střechy odpovídá úhlu 36,87°.
Časté dotazy
Jak spočítám přeponu?
Sečtěte druhé mocniny obou odvěsen a výsledek odmocněte. Pro a = 3 a b = 4 je c = √(9 + 16) = √25 = 5.
Jak spočítám odvěsnu?
Od druhé mocniny přepony odečtěte druhou mocninu známé odvěsny a výsledek odmocněte. Pro c = 2,5 a a = 0,8 je b = √(6,25 − 0,64) = 2,37.
Platí Pythagorova věta pro každý trojúhelník?
Ne, jen pro pravoúhlý trojúhelník. Pro ostatní trojúhelníky se používá kosinová věta, která Pythagorovu větu zahrnuje jako zvláštní případ.
Jak ověřím pravý úhel metodou 3-4-5?
Na jedné straně odměřte 3 m, na druhé 4 m. Pokud je vzdálenost mezi koncovými body přesně 5 m, svírají strany pravý úhel. Funguje i 60, 80 a 100 cm.
Co jsou pythagorejské trojice?
Trojice celých čísel, která splňují a² + b² = c², například 3, 4, 5 nebo 5, 12, 13. Každý jejich násobek, například 6, 8, 10, je také pythagorejská trojice.
Naposledy zkontrolováno: 6. 10. 2026. Výsledky jsou orientační odhady.