O teorema de Pitágoras
Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. A hipotenusa c é o lado maior, oposto ao ângulo reto; os catetos a e b são os dois lados que formam o ângulo reto.
c² = a² + b²
c = √(a² + b²)
a = √(c² − b²)
Calcular a hipotenusa
Exemplo clássico: catetos de 3 e 4. c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. A área é 3 × 4 ÷ 2 = 6 e o perímetro é 3 + 4 + 5 = 12. Os ângulos agudos medem 36,87° e 53,13°.
Exemplo com decimais: catetos de 2,4 m e 3,2 m. c = √(5,76 + 10,24) = √16 = 4 m. A área é de 3,84 m² e o perímetro de 9,6 m.
Calcular um cateto
Se conhece a hipotenusa e um cateto, subtraia em vez de somar. Exemplo: hipotenusa de 13 e cateto de 5. b = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12. A área é 30 e o perímetro também é 30.
Exemplo prático: uma escada. Uma escada de 4 m está encostada a uma parede, com o pé a 1,2 m da parede. A que altura chega? b = √(4² − 1,2²) = √(16 − 1,44) = √14,56 ≈ 3,82 m. O ângulo da escada com o chão é de cerca de 72,5°, um valor seguro: para escadas de mão recomenda-se habitualmente um ângulo de cerca de 75°.
A hipotenusa é sempre o lado maior. Se introduzir uma hipotenusa menor do que um cateto, a calculadora mostra um erro, porque esse triângulo não existe.
Ternos pitagóricos
Alguns triângulos retângulos têm três lados inteiros. São os chamados ternos pitagóricos:
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 6 | 8 | 10 |
Qualquer múltiplo de um terno também é um terno: 6, 8, 10 ou 30, 40, 50 cm.
Aplicações práticas
- Verificar um ângulo reto em obra: a regra 3-4-5 dos pedreiros. Marque 3 m numa parede e 4 m na outra, a partir do canto; se a distância entre as duas marcas for exatamente 5 m, o canto está em esquadria. Com medidas mais pequenas, use 60, 80 e 100 cm.
- A diagonal de um ecrã ou de um retângulo: um ecrã com 88,6 cm de largura e 49,8 cm de altura tem uma diagonal de cerca de 101,6 cm, ou seja, 40 polegadas.
- Telhados e rampas: o comprimento de uma vertente a partir da altura e da projeção horizontal.
- Distâncias num mapa: a distância em linha reta entre dois pontos de uma grelha, a partir das diferenças em x e em y.
Ângulos e trigonometria
A calculadora mostra também os ângulos agudos do triângulo. Calculam-se com as funções trigonométricas: o ângulo α, oposto ao cateto a, é arcsen(a ÷ c), e o ângulo β é 90° − α. A soma dos três ângulos de um triângulo é sempre 180°.
Uma demonstração simples
Desenhe um quadrado de lado a + b e coloque dentro dele quatro cópias do triângulo retângulo, com as hipotenusas viradas para dentro. O espaço livre no meio é um quadrado de lado c. A área total é (a + b)², que é igual às quatro áreas dos triângulos, 4 × a × b ÷ 2, mais c². Simplificando, obtém-se a² + b² = c².
Perguntas frequentes
Como se calcula a hipotenusa?
Some os quadrados dos catetos e tire a raiz quadrada. Com catetos de 3 e 4: √(9 + 16) = 5.
Como se calcula um cateto?
Subtraia o quadrado do cateto conhecido ao quadrado da hipotenusa e tire a raiz quadrada. Com hipotenusa 13 e cateto 5: √(169 − 25) = 12.
O teorema funciona com qualquer triângulo?
Não. Só com triângulos retângulos, que têm um ângulo de 90°. Para outros triângulos usa-se a lei dos cossenos.
O que é a regra 3-4-5?
É um terno pitagórico usado em obra para verificar ângulos retos: se dois lados medem 3 e 4 e a diagonal mede 5, o ângulo entre eles é reto.
As unidades têm de ser iguais?
Sim. Introduza todos os lados na mesma unidade; o resultado vem nessa mesma unidade.
Última verificação: 06/10/2026. Os resultados são estimativas indicativas.