Vad säger Pythagoras sats?
I en rätvinklig triangel kallas de två sidorna som bildar den räta vinkeln för kateter (a och b), och den längsta sidan, mittemot den räta vinkeln, kallas hypotenusa (c). Pythagoras sats säger:
a² + b² = c²
Kvadraten på hypotenusan är alltså lika med summan av kvadraterna på kateterna. Med formeln kan du räkna ut vilken sida som helst om du vet de två andra:
c = √(a² + b²)
a = √(c² − b²)
b = √(c² − a²)
Uträknade exempel
| a | b | c | Kommentar |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | den klassiska 3-4-5-triangeln |
| 6 | 8 | 10 | dubbelt så stor, samma form |
| 2,4 | 3,2 | 4 | 3-4-5 skalad med 0,8 |
| 1,2 | 2,75 | 3 | en stege mot en vägg |
Exempel steg för steg för 3-4-5: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, och √25 = 5.
Exempel: stegen mot väggen
En stege är 3 meter lång och står 1,2 meter från väggen. Hur högt når den? Stegen är hypotenusan, avståndet från väggen är en katet:
höjd = √(3² − 1,2²) = √(9 − 1,44) = √7,56 ≈ 2,75 m
Stegen når alltså ungefär 2,75 meter upp. Räknaren visar också vinkeln mot marken: cirka 66,4 grader. Tumregeln för stegar är att avståndet från väggen bör vara ungefär en fjärdedel av höjden; följ alltid tillverkarens anvisningar.
3-4-5-regeln i byggen
Snickare och trädgårdsbyggare använder 3-4-5-regeln för att kontrollera att ett hörn är exakt 90 grader. Mät 3 meter längs den ena sidan och 4 meter längs den andra. Om diagonalen mellan punkterna är exakt 5 meter är hörnet rätvinkligt. För mindre ytor fungerar 30-40-50 cm, och för större 6-8-10 meter. Metoden är användbar när du ska bygga ett trädäck, sätta stolpar för ett staket eller gjuta en platta.
Area, omkrets och vinklar
Utöver den saknade sidan visar räknaren:
- Area: a × b ÷ 2. För 3-4-5-triangeln är arean 6.
- Omkrets: a + b + c. För 3-4-5-triangeln är omkretsen 12.
- Vinklar: de två spetsiga vinklarna α och β, som tillsammans alltid är 90 grader. Den räta vinkeln γ är 90 grader.
Diagonaler i vardagen
Pythagoras sats används också för att räkna ut diagonaler. En tv-skärm anges med diagonalen i tum, och en rektangulär tomt eller ett rum har en diagonal som du kan räkna ut från längd och bredd. Ett rum på 5 × 4 meter har diagonalen √(25 + 16) = √41 ≈ 6,40 meter. Kontrollerar du att båda diagonalerna i ett rektangulärt rum är lika långa vet du att hörnen är räta.
Vem var Pythagoras?
Satsen har fått sitt namn efter den grekiske matematikern Pythagoras, som levde på 500-talet före vår tideräkning. Sambandet var dock känt långt tidigare, bland annat i Babylonien. I svensk skola ingår Pythagoras sats i matematiken på högstadiet.
Pythagoras sats i tre dimensioner
Satsen fungerar även i rummet. Diagonalen i ett rätblock, till exempel den längsta sträckan genom en låda eller ett rum, är √(längd² + bredd² + höjd²). Ett rum på 5 × 4 meter med 2,5 meter i takhöjd har en rymddiagonal på √(25 + 16 + 6,25) = √47,25 ≈ 6,87 meter. Det kan vara bra att veta om du ska få in en lång planka eller en stege i ett rum. Räkna i två steg i räknaren: först golvdiagonalen från längd och bredd, sedan den diagonalen och takhöjden som två kateter.
Vanliga frågor
Hur räknar jag ut hypotenusan?
Kvadrera båda kateterna, lägg ihop dem och dra roten ur summan. För 3 och 4: √(9 + 16) = 5.
Hur räknar jag ut en katet?
Dra kvadraten på den kända kateten från kvadraten på hypotenusan och dra roten ur. För c = 3 och a = 1,2: √(9 − 1,44) ≈ 2,75.
Gäller Pythagoras sats för alla trianglar?
Nej, bara för rätvinkliga trianglar, alltså trianglar med en vinkel på exakt 90 grader.
Vad är 3-4-5-regeln?
En triangel med sidorna 3, 4 och 5 är alltid rätvinklig. Byggare använder den för att kontrollera att ett hörn är 90 grader.
Vilken enhet ska jag använda?
Vilken som helst, så länge alla sidor har samma enhet. Resultatet får samma enhet som du har fyllt i.
Senast granskad: 2026-10-06. Resultaten är uppskattningar och endast vägledande.